Question

5．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，求下列式子的取值范围．
（1）$\frac{y+1}{x+1}$；
（2）（x-1）²+（y-1）²；
（3）x-2y；
（4）|2x+y+1|；
（5）$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$；
（6）$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）由$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义即两点连线的斜率求得答案；
（2）由（x-1）²+（y-1）²的几何意义即两点间的距离的平方求得答案；
（3）直接由线性目标函数求得x-2y的范围；
（4）由线性目标函数求得绝对值内部的范围，则|2x+y+1|的范围可求；
（5）对x分类，然后把$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$分子分母同时除以x，换元后利用函数单调性求得答案；
（6）把$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$分子分母同时除以x，换元，然后分类利用函数单调性和基本不等式求得答案．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

（1）$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{y-（-1）}{x-（-1）}$，由图可知，可行域内的点与P（-1，-1）连线斜率的最小值为${k}_{PA}=\frac{-1-0}{-1-1}=\frac{1}{2}$，最大值为${k}_{PB}=\frac{-1-1}{-1-0}=2$．
∴$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围为[$\frac{1}{2}，2$]；
（2）（x-1）²+（y-1）²的几何意义为可行域内的动点到点M（1，1）的距离的平方，最小值为$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，最大值为$（\sqrt{2}）^{2}=2$．
∴（x-1）²+（y-1）²的取值范围为[$\frac{1}{2}，2$]；
（3）令z=x-2y，化为直线方程斜截式$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$，由图可知，当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$过点B（0，1）时，z有最小值为-2．
当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$过点A（1，0）时，z有最大值为1．
∴x-2y的范围为[-2，1]；
（4）令t=2x+y+1，化为直线方程斜截式y=-2x+t-1，由图可知，当直线y=-2x+t-1过O（0，0）时，t有最小值为1．
当直线y=-2x+t-1过A（1，0）时，t有最大值为3．
∴|2x+y+1|的取值范围为[1，3]；
（5）要使原求解的代数式有意义，x，y不同时为0．
当x=0时，$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=-1．当x≠0时，$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{y}{x}}{\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$（t=$\frac{y}{x}≥0$），
由单调性可得，$\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{1+{t}^{2}}}∈（-1，\sqrt{3}]$．
∴$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范围为[-1，$\sqrt{3}$]；
（6）要使原求解的代数式有意义，x≠0且x≠y．
则$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{1+\frac{y}{x}+（\frac{y}{x}）^{2}}{1-\frac{y}{x}}=\frac{1+t+{t}^{2}}{1-t}$（t=$\frac{y}{x}≥0$且t≠1），
=$-\frac{（t-1）^{2}+3（t-1）+3}{t-1}$=$-[（t-1）+\frac{3}{t-1}]-3$．
当-1≤t-1＜0时，$-[（t-1）+\frac{3}{t-1}]-3$∈[1，+∞）．
当t-1＞0时，$-[（t-1）+\frac{3}{t-1}]-3$∈（-∞，-$2\sqrt{3}-3$]．
∴$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$的取值范围为（-∞，-$2\sqrt{3}-3$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，基本囊括了高中阶段所学线性规划的所有题型，题目设置思维灵活，运算量较大，属难题．