Question

2．已知△ABC中，AB=AC=4，O为△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），且x+2y=1，则△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取AC中点为D，则OD⊥AC，把写为$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，然后用两种方法写出，由数量积相等结合x+2y=1，需要分类讨论，当x≠0求得cos∠BAC，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC的面积，当x=0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决．

解答 解：取AC的中点D，则由题意可得$\overrightarrow{DO}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，如图所示．
由AB=AC=4，O为△ABC的外心，可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos0=2×4=8．
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$=x|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠BAC+y•${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$
=16x•cos∠BAC+16y=8，
∴2x•cos∠BAC+2y=1．
又 x+2y=1，∴2xcos∠BAC=x．
当x≠0时，cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=4$\sqrt{3}$．
当x=0时，则y=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，O为AC的中点，∴点A，0，C共线，
∴三角形ABC以B为直角的直角三角形，这不可能．
综上可得△ABC面积的为4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是属于中档题．