Question

12．已知曲线C和C′关于直线x-y-2=0对称，若曲线C的方程为f（x，y）=0，则曲线C′的方程为f（y+2，x-2）=0．

Answer 1

分析 设所求曲线上任意一点A（x，y），由A关于直线x-y-2=0对称的点B（x′，y′）在已知曲线上，根据A与B关于直线x-y-2=0对称建立可得A与B的关系，进而用x、y表示x′，y′，然后代入已知曲线f（x，y）=0，即可求出所求．

解答 解：设所求曲线上任意一点A（x，y），则A（x，y）关于直线x-y-2=0对称的点B（x′，y′）在已知曲线上
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+x′}{2}-\frac{y+y′}{2}-2=0}\\{\frac{y-y′}{x-x′}=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=y+2}\\{y′=x-2}\end{array}\right.$
∵B（x′，y′）在已知曲线f（x，y）=0上，即f（x′，y′）=0
∴有f（y+2，x-2）=0
故答案为：f（y+2，x-2）=0

点评 本题主要考查了已知曲线关于直线l对称的曲线的求解，其步骤一般是：在所求曲线上任取一点A求出A关于直线的对称点B，则B在已知曲线上，从而代入已知曲线可求所求曲线，属于中档题．