Question

17．直线y=m分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁+3=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁+3=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂）-$\frac{3}{2}$，
∴|AB|=x₂-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂）+$\frac{3}{2}$，
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+$\frac{3}{2}$，则y′=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{x}$），
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为2，
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．