Question

8．已知a，b为正实数，直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切，则$\frac{{a}^{2}}{b}$的取值范围是（0，+∞）．

Answer 1

分析 利用直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切可得|a+b+1|=2，即b=1-a，从而可得0＜a＜1，0＜b＜1，$\frac{{a}^{2}}{b}$=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，构造函数f（a）=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，（0＜a＜1），借助导数即可求出f（a） 的范围，即$\frac{{a}^{2}}{b}$的取值范围．

解答 解：∵直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|b+1+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即|a+b+1|=2，
∴a+b=1，或a+b=-3
∵a，b为正实数
∴a+b=-3（舍去），
即b=1-a，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，$\frac{{a}^{2}}{b}$=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，
构造函数f（a）=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，（0＜a＜1），
则f′（a）=$\frac{2a（1-a）+{a}^{2}}{（1-a）^{2}}$=$\frac{2a-{a}^{2}}{（1-a）^{2}}$，
∵当0＜a＜1时，2a-a²＞0，即f′（a）＞0，
∴f（a）在（0，1）上是增函数，
∴0＜f（a）＜1，
则$\frac{{a}^{2}}{b}$的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、不等式的性质和导数在研究函数中的应用等知识，属于中档题．