Question

16．如图，过点N（0，1）和M（m，-1）（m≠0）的动直线l与抛物线C：x²=2py交于P、Q两点（点P在M、N之间），O为坐标原点．
（1）若p=2，m=2，求△OPQ的面积S；
（2）对于任意的动直线l，是否存在常数p，总有∠MOP=∠PON？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线l的方程与抛物线方程组成方程组，表示出点P、Q的坐标，计算△OPQ的面积S的值；
（2）假设存在点P满足条件，根据M、P、N三点共线以及∠MOP=∠PON，
得出点P到y轴距离与到直线OM的距离相等，求出p的值是常数．

解答 解：（1）由题意，直线l的方程为y=-x+1．设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，得x²+4x-4=0，
则x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4，
∴S=$\frac{1}{2}$|ON|•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（-4）}^{2}-4×（-4）}$
=2$\sqrt{2}$；-----（6分）
（2）设点P（x₀，y₀），则y₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$；
由M、P、N三点共线，得m=$\frac{{{2x}_{0}}^{2}}{1{-y}_{0}}$；---（7分）
由∠MOP=∠PON，
得点P到y轴距离与到直线OM：x+my=0距离相等，
即|x₀|=$\frac{{|x}_{0}+{my}_{0}|}{\sqrt{1{+m}^{2}}}$，
∴${{x}_{0}}^{2}$+m²${{x}_{0}}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$+m²${{y}_{0}}^{2}$+2mx₀y₀，
即m${{x}_{0}}^{2}$=m${{y}_{0}}^{2}$+2x₀y₀；----（9分）
把y₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$，m=$\frac{{2x}_{0}}{1{-y}_{0}}$=$\frac{4{px}_{0}}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$代入，
得$\frac{4{px}_{0}{{•x}_{0}}^{2}}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$=$\frac{4{px}_{0}}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$•$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{{4p}^{2}}$+$\frac{{2x}_{0}{{•x}_{0}}^{2}}{2p}$，
即$\frac{4p}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p（2p{{-x}_{0}}^{2}）}$+$\frac{1}{p}$，--------（11分）
∴4p²=${{x}_{0}}^{2}$+2p-${{x}_{0}}^{2}$，
解得p=$\frac{1}{2}$；
故存在常数p=$\frac{1}{2}$，总有∠MOP=∠PON．---（13分）

点评 本题考查了直线方程与抛物线方程的综合应用问题，也考查了角平分线的应用问题以及根与系数的应用问题，考查了运算能力与推理证明的能力，是综合性题目．