Question

19．已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）如果点C满足3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，当k=$\frac{2}{3}$时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC平分线所在直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）当k=$\frac{2}{3}$时，将直线l：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$与椭圆E的方程联立并整理得2x²+x-1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意，A（-1，0），所以b=1，
因为tan∠FAB=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以a²=$\frac{4}{3}$，
所以椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）当k=$\frac{2}{3}$时，将直线l：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$与椭圆E的方程联立并整理得2x²+x-1=0，
所以P的横坐标为$\frac{1}{2}$，即P（$\frac{1}{2}$，1）．
因为B（1，0），3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=0，
所以C（-1.5，0），
所以直线PB的方程为2x+y-2=0，直线PC的方程为x-2y+1.5=0．
令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即$\frac{|2t-2|}{\sqrt{5}}=\frac{|t+1.5|}{\sqrt{5}}$，
所以t=$\frac{1}{6}$或t=$\frac{7}{2}$．
考虑到Q在B，C之间，则t=$\frac{1}{6}$，即Q（$\frac{1}{6}$，0），
所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x-2y-1=0．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．