Question

10．直线x+my+1=0与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]
• B． [-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{3}{4}$，3]
• D． [-3，-$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答 解：即直线x+my+1=0过定点D（-1，0）
作出不等式组对应的平面区域如图：
当m=0时，直线为x=-1，此时直线和平面区域没有公共点，
故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=$-\frac{1}{m}$x$-\frac{1}{m}$，
斜率k=$-\frac{1}{m}$，
要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，
即k=$-\frac{1}{m}$＞0，即m＜0，满足k_CD≤k＜k_AB，
此时AB的斜率k_AB=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（2，1），
CD的斜率k_CD=$\frac{0-1}{-1-2}$=$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
AD的斜率k_AD=$\frac{4-0}{2-（-1）}$=$\frac{4}{3}$，
即$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{1}{3}$，
则$\frac{4}{3}$≤$-\frac{1}{m}$≤$\frac{1}{3}$，
解得-3≤m≤-$\frac{3}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．