Question

12．已知结论：“在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A-BCD中，侧棱AB与平面ACD、平面BCD所成的角为α、β，则有（　　）”

• A． $\frac{BC}{sinα}=\frac{AD}{sinβ}$
• B． $\frac{AD}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$
• C． $\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$
• D． $\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinβ}$

Answer 1

分析 分别过B、A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E、F，则∠BAE=α，∠ABF=β，利用三棱锥的体积计算公式、类比正弦定理即可得出．

解答 解：分别过B、A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E、F，则∠BAE=α，∠ABF=β，
${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•BE=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinα$，${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AF=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinβ$，
又$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinα=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AB•sinβ$，
即$\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$．
故选：C．

点评 本题考查了三棱锥的体积计算公式、类比推力，属于基础题．