Question

17．如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．
（Ⅰ）若动点Q满足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BQ}$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AQ}$|=0，求点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设椭圆Γ的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与轨迹C交于M，N两点，且与椭圆Γ交于H，K两点．若线段MN与线段HK的中点重合，求椭圆Γ的离心率．

Answer 1

分析 （I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出Q的坐标，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BQ}$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AQ}$|=0求得x和y的关系．
（II）设椭圆E的方程，根据M，N在椭圆C上，设点的坐标，代入两式相减并恒等变形得斜率，同理由H，K在椭圆E上，得斜率，利用弦AB的中点与弦HK的中点重合，建立方程，从而可得椭圆E的离心率，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由x²=4y得y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
∴直线l的斜率为y′|_x=2=1，
故l的方程为y=x-1，∴点A的坐标为（1，0）．
设Q（x，y），则$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{BQ}$=（x-2，y），$\overrightarrow{AQ}$=（x-1，y），
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BQ}$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AQ}$|=0，
整理，得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．．
（II）设椭圆Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0，m≠n），并设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）．
∵M，N在椭圆C上，
∴x₁²+2y₁²=2，且x₂²+2y₂²=2，两式相减并恒等变形得k=-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得k=-$\frac{{m}^{2}{x}_{3}+{x}_{4}}{{n}^{2}{y}_{3}+{y}_{4}}$．
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m²=2n²，
求得椭圆E的离心率e=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．