Question

9．已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=3时，求函数在（1，f（1））的切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=3代入函数解析式并求出导数，求出f′（1）和f（1），代入点斜式方程化简即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数和定义域，分a≤0和a＞0讨论，分别由导函数的符号判断出函数单调区间，并求出函数的极值．

解答 解：（I）当a=3时，f（x）=3x-2lnx，则$f′（x）=3-\frac{2}{x}$，
∴f′（1）=3-2=1，且f（1）=3，
∴在（1，3）处的切线方程是：y-3=x-1，即x-y+2=0，…（4分）
（Ⅱ）由题意得，$f′（x）=a-\frac{2}{x}=\frac{ax-2}{x}，x＞0$，
当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，
∴函数f（x）没有极值．                    …（6分）
当a＞0时，令f′（x）=0，得$x=\frac{2}{a}$，
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	$（{0，\frac{2}{a}}）$	$\frac{2}{a}$	$（{\frac{2}{a}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当$x=\frac{2}{a}$时，f（x）取得极小值$f（\frac{2}{a}）=2-2ln\frac{2}{a}$，
综上，当a≤0时，f（x）没有极值；
当a＞0时，f（x）的极小值为$2-2ln\frac{2}{a}$，没有极大值． …（9分）

点评 本题考查导数的几何意义以及切线方程，导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．