Question

4．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则数列{a_n}的通项公式为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据条件，利用作差法，以及累积法进行求解即可．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，
两式作差得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）（n-1）a_n=（n-1）²a_n-1，
即（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{4}$•$\frac{3}{5}$…$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{1×2}{n（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$，不满足a_n，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用作差法以及累积法是解决本题的关键．