Question

14．记直线x-3y-1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α-β=-arctan$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 求出曲线y=1nx在（2，1n2）处切线斜率，从而可得tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，利用差角的正切公式，即可求出α-β．

解答 解：∵y=1nx，∴y′=$\frac{1}{x}$，
x=2时，y′=$\frac{1}{2}$，
∵直线x-3y-l=0的倾斜角为α，曲线y=1nx在（2，1n2）处切线的倾斜角为β，
∴tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=-$\frac{1}{7}$，
∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴α-β=-arctan$\frac{1}{7}$．
故答案为：-arctan$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查和角的正切公式，确定tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，是解题的关键．