Question

6．已知二次函数y=-x²+4x-3，当x＞-1时，不等式f（x）-1≤（x+1）f（b）恒成立，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 令x+1=t（t＞0），则原不等式即为-（t-1）²+4（t-1）-4≤tf（b），化简可得f（b）≥6-（t+$\frac{9}{t}$）恒成立，运用基本不等式求得右边的最大值为0，再由二次不等式的解法即可得到b的最大值．

解答 解：令x+1=t（t＞0），则
不等式f（x）-1≤（x+1）f（b）即为-（t-1）²+4（t-1）-4≤tf（b），
化简可得f（b）≥6-（t+$\frac{9}{t}$）恒成立，
由t+$\frac{9}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$=6，当且仅当t=3取得等号，
即有t=3时，6-（t+$\frac{9}{t}$）取得最大值，且为6-6=0，
则有f（b）≥0，即为-b²+4b-3≥0，
解得1≤b≤3．
即有b的最大值为3．

点评 本题考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，同时考查基本不等式的运用，以及二次不等式的解法，属于中档题．