Question

18．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线x²=4$\sqrt{3}$y的焦点重合，F₁与F₂分别是该椭圆的左右焦点，离心率e=$\frac{1}{2}$，且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，判断$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定椭圆C的一个顶点为（0，$\sqrt{3}$），b=$\sqrt{3}$，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求出a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）分类讨论．由直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理，利用$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵x²=4$\sqrt{3}$y的焦点为（0，$\sqrt{3}$），∴椭圆C的一个顶点为（0，$\sqrt{3}$），
∴b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1）]=$\frac{-5{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，∴$\frac{-5{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$=-2，
∴k=±$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程为y=±$\sqrt{2}$（x-1），
当直线l的斜率不存在时，M（1，$\frac{3}{2}$），N（1，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$≠-2，
综上，直线l的方程为y=±$\sqrt{2}$（x-1）；
（Ⅲ）当直线l的斜率存在时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
y=kx代入椭圆方程，消去y可得x²=$\frac{12}{4{k}^{2}+3}$，
则|AB|²=$\frac{48（1+{k}^{2}）}{4{k}^{2}+3}$，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4，是定值；
当直线l的斜率不存在时，|MN|=3，|AB|²=12，$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4是定值，
综上所述：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4为定值．

点评 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．