Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F₁（-1，0）和右焦点F₂（1，0），且AC⊥BD，椭圆的一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，及b²=a²-c²=3．可得椭圆的标准方程．
（2）设四边形ABCD面积为S，若AC与BD中有一条与x轴重合，则S=$\frac{1}{2}×\frac{2{b}^{2}}{a}×2a$．
若AC与BD的斜率都存在，不妨设AC的斜率为k，设AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用根与系数的关系可得|AC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，同理可得|BD|．可得S=$\frac{1}{2}×|AC|×|BD|$，再利用二次函数的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，解得a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设四边形ABCD面积为S，
若AC与BD中有一条与x轴重合，则S=$\frac{1}{2}×\frac{2{b}^{2}}{a}×2a$=6．
若AC与BD的斜率都存在，不妨设AC的斜率为k，设AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
同理可得：|BD|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$．
S=$\frac{1}{2}×|AC|×|BD|$=$\frac{72（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+4）（3+4{k}^{2}）}$，
令t=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$∈（0，1），S=S（t）=$\frac{72}{-{t}^{2}+t+12}$=$\frac{72}{-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}$，
∴S∈$[g（\frac{1}{2}），g（0））$，即S∈$[\frac{288}{49}，6）$．
综上可得：四边形ABCD面积的取值范围是$[\frac{288}{49}，6]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、互相垂直的直线斜率之间的关系、四边形面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．