Question

11．已知函数f（x）=$sin（2x+\frac{π}{4}）$
（1）求f（x）的单调增区间
（2）若$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，且$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的单调性即可求f（x）的单调增区间
（2）根据两角和差的正弦公式进行求解即可得到结论．

解答 解：（1）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
即f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）若$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，则sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
若$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，则α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），
即cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
则sinα=sin（α+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查三角函数单调区间的求解以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．