Question

1．如图所示，已知点S（0，3），过点S作直线SM，SN与圆Q：x²+y²-2y=0和抛物线C：x²=-2py（p＞0）都相切．
（1）求抛物线C和两切线的方程；
（2）设抛物线的焦点为F，过点P（0，-2）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C（其中点B靠近点C），且|AF|=5，求△BCF与△ACF的面积之比．

Answer 1

分析 （1）1）设切线方程为y=kx+3，即 kx-y+3=0，圆心到直线的距离为d=1，求出k，可得切线方程，代入抛物线方程，利用△=0，求出抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由|AF|=5，可得-y₂+1=5，解得y₂，代入抛物线方程可得x₂．A，P，M三点共线，求出B的坐标，即可求出△BCF与△ACF的面积之比．

解答 解：（1）设切线方程为y=kx+3，即 kx-y+3=0，
圆Q：x²+y²-2y=0的圆心为（0，1），半径为1，圆心到直线的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=$±\sqrt{3}$，
∴两切线的方程y=$±\sqrt{3}$x+3，
代入x²=-2py，可得x²±2$\sqrt{3}$px+6p=0，
△=12p²-24p=0，∴p=2，
∴抛物线C的方程x²=-4y；…（7分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由|AF|=5，可得-y₂+1=5，
解得y₂=-4，代入抛物线方程可得x₂=-4．
∴A（-4，-4）．
∵A，P，M三点共线，∴B（2，-1），
∴△BCF与△ACF的面积之比=$\frac{|BC|}{|AC|}$=$\frac{1+1}{4+1}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．