Question

9．如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q，D，E分别是所在棱的中点，F，G是分别BB₁，CC₁上的点，满足$\frac{BG}{{G{B_1}}}=\frac{CF}{{F{C_1}}}$=3．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面DEFG；
（Ⅱ）若该三棱柱的所有棱长为2，求四棱锥Q-DEFG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BQ，CQ，解直角三角形可得BQ∥GD，CQ∥FE，然后利用面面平行的判定证明平面QBC∥平面DEFG；
（Ⅱ）延长GD，FE，QA₁，则三线必相交于一点O，把四棱锥Q-DEFG的体积转化为三棱锥G-OQF的体积得答案．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接BQ，CQ，
取BB₁中点M，连接QM，则△BMQ为Rt△，
在Rt△BMQ中，tan∠QBM=$\frac{QM}{BM}$，
在Rt△GB₁D中，tan∠GB₁D=$\frac{D{B}_{1}}{G{B}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}}{\frac{1}{2}M{B}_{1}}=\frac{QM}{BM}$，
∴∠∠QBM=∠GB₁D，则BQ∥GD，
同理可证CQ∥FE，又BQ∩CQ=Q，则平面QBC∥平面DEFG；
（Ⅱ）延长GD，FE，QA₁，则三线必相交于一点，设为O，
∵D、E分别是所在棱的中点，
故而DE∥FG，DE=$\frac{1}{2}FG$，∴${S}_{DEFG}=\frac{3}{4}{S}_{△OFG}$，
又∵三棱柱的所有棱长为2，∴OQ=$\frac{3}{2}$，
G到平面OQF的距离等于B到平面ACC₁A₁的距离，
而三角形ABC的边AC上的高线$\sqrt{3}$即为距离，也就是所求棱锥的高的值，
∴${V}_{Q-DEFG}=\frac{3}{4}{V}_{Q-OFG}=\frac{3}{4}{V}_{G-OQF}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．