Question

4．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}，|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|，则\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值是1．

Answer 1

分析 由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，∴O为BC的中点，
又O为三角形的外心，∴三角形是以角A为直角的直角三角形，
∴OA=1，AB=$\sqrt{3}$，可得CA=1，CB=2，∠BCA=60°，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cos60°$=$1×2×\frac{1}{2}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查直角三角形中的边角关系，是基础题．