Question

15．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，当点M为EC中点时．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．

Answer 1

分析 （1）以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，$\overrightarrow{OC}=（0，4，0）$是平面ADEF的一个法向量，证明$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0$，即可证明BM∥平面ADEF；
（2）求出平面BDM的一个法向量、平面ABF的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．

解答 （1）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），M（0，2，1）．
∴$\overrightarrow{BM}=（-2，0，1）$--------（2分）
又$\overrightarrow{OC}=（0，4，0）$是平面ADEF的一个法向量．
∵$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0$即$\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow{OC}$
∴BM∥平面ADEF------（4分）
（2）解：设M（x，y，z），则$\overrightarrow{EM}=（x，y，z-2）$，
又$\overrightarrow{EC}=（0，4，-2）$
设$\overrightarrow{EM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，即M（0，2，1）．--（6分）
设$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是平面BDM的一个法向量，则$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow n=2{x_1}+2{y_1}=0$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow n=4λ{y_1}+（2-2λ）{z_1}=0$
取x₁=1得 y₁=-1，z₁=2即$\overrightarrow n=（1，-1，2）$
又由题设，$\overrightarrow{OA}=（2，0，0）$是平面ABF的一个法向量，
∴$|{cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{2\sqrt{2+4}}}=\frac{6}{{\sqrt{6}}}$

点评 本题考查线面平行，考查平面BDM与平面ABF所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．