Question

5．已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$，$\overrightarrow{α}$=$（\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}）$
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M⁵$\overrightarrow{α}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用矩阵的运算法则进行求解；（Ⅱ）利用矩阵的乘法法则进行求解．

解答 解：（Ⅰ）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$
则$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$=4$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{8}\\{12}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b=8}\\{2c+3d=12}\end{array}\right.$①
又$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=（-1）$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{c-d=1}\end{array}\right.$②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$；
（Ⅱ）易知$\overrightarrow{α}$=0•$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$+（-1）$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
∴M⁵$\overrightarrow{α}$=（-1）⁶$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．