Question

13．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B₃C₃上有10个不同的点P₁，P₂，…P₁₀，记m_i=$\overrightarrow{A{B_2}}•\overrightarrow{A{P_i}}$（i=1，2，…，10），则m₁+m₂+…+m₁₀的值为（　　）

• A． 180
• B． $60\sqrt{3}$
• C． 45
• D． $15\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{A{B}_{2}}⊥\overrightarrow{{B}_{3}{C}_{3}}$，然后把m_i=$\overrightarrow{A{B_2}}•\overrightarrow{A{P_i}}$转化为$\overrightarrow{A{B}_{2}}•\overrightarrow{A{C}_{3}}$求得答案．

解答 解：由图可知，∠B₂AC₃=30°，又∠AC₃B₃=60°，
∴$\overrightarrow{A{B}_{2}}⊥\overrightarrow{{B}_{3}{C}_{3}}$，即$\overrightarrow{A{B}_{2}}•\overrightarrow{{B}_{3}{C}_{3}}=0$．
则${m_i}=\overrightarrow{A{B_2}}•\overrightarrow{A{P_i}}=\overrightarrow{A{B_2}}（\overrightarrow{A{C_3}}+\overrightarrow{{C_3}{P_i}}）=\overrightarrow{A{B_2}}•\overrightarrow{A{C_3}}=2\sqrt{3}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=18$，
∴m₁+m₂+…+m₁₀=18×10=180．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形中边角关系的运用，考查了数学转化思想方法，是中档题．