Question

3．已知A、B分别为曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．
（1）若曲线C为圆，且|BP|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求弦AM的长；
（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、P的坐标，从而求出直线AP的方程，进而求出弦AM的长；
（2）设出直线AP的方程，联立方程组，求出M点的坐标，结合BM⊥OP，求出a的值，从而求出曲线C的方程．

解答 解：（1）∵曲线C为圆，则曲线C为x²+y²=1，
∴A（-1，0），B（1，0），P（1，±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴直线AP的方程为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），
∴圆心到直线AP的距离为d=$\frac{1}{2}$，
∴弦AM=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$；
（2）由已知得A（-a，0），B（a，0），
由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM⊥OP，
显然，直线AP的斜率k存在且k≠0，可设直线AP的方程为y=k（x+a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}{+y}^{2}=1}\\{y=k（x+a）}\end{array}\right.$得：（1+a²k²）x²+2a³k²x+a⁴k²-a²=0，
设点M（x_M，y_M），∴x_M•（-a）=$\frac{{{a}^{4}k}^{2}{-a}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，
故x_M=$\frac{a{{-a}^{3}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，从而y_M=k（x_M+a）=$\frac{2ak}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，
∴M（$\frac{a{{-a}^{3}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，$\frac{2ak}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$），
∵B（a，0），∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{-{{2a}^{3}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，$\frac{2ak}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$），
由BM⊥OP，可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{OP}$=$\frac{-{{2a}^{4}k}^{2}+{{4a}^{2}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$=0，
即-2a⁴k²+4a²k²=0，
∵k≠0，a＞0，∴a=$\sqrt{2}$，
经检验，当a=$\sqrt{2}$时，O、N、P三点共线，
∴曲线C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．

点评 本题考察了直线和圆锥曲线的问题，第一问中求出AP的方程是解题的关键，第二问中求出M点的坐标，利用向量垂直的性质是解题的关键，本题是一道难题．