Question

18．若数列{x_n}满足：$\frac{1}{{{x_{n+1}}}}-\frac{1}{x_n}$=d（d为常数，n∈N*），则称{x_n}为调和数列．已知数列{a_n}为调和数列，且a₁=1，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）数列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$的前n项和为S_n，是否存在正整数n，使得S_n≥2015？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列，及$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=15，利用等差中项的性质计算即得结论；
（Ⅱ）通过写出S_n、2S_n的表达式，；利用错位相减法可得S_n，结合S_n递增，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列，
由$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=15，
得：$\frac{5}{a_3}=15$，即$\frac{1}{a_3}=3$，
∴公差$d=\frac{{\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_1}}}{2}=1$，故$\frac{1}{a_n}=n$，
即${a_n}=\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）${S_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+n×{2^n}$         ①
2S_n=1×2²+…+（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：${S_n}=n×{2^{n+1}}-（{2+{2^2}+…+{2^n}}）$=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
由于S_n是递增的，当n=7时，${S_7}=6×{2^8}+2＜2015$；
当n=8时，${S_8}=7×{2^9}+2＞{2^{11}}＞2015$．
所以存在正整数m，使得S_n≥2015，
∴n的取值集合为{n|n≥8，n∈N^*}．

点评 本题考查求数列的通项、前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．