Question

20．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a₁=1，a_na_n+1=3ⁿ（n∈N₊），则S₂₀₁₄=2•3¹⁰⁰⁷-2．

Answer 1

分析 由a_na_n+1=3ⁿ，得${a}_{n+1}{a}_{n+2}={3}^{n+1}$，两式作商得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=3$，由此可得数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的前n项和求得S₂₀₁₄．

解答 解：由a_na_n+1=3ⁿ，得${a}_{n+1}{a}_{n+2}={3}^{n+1}$，
两式作商得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=3$，
又a₁=1，∴a₂=3，
则数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，
∴S₂₀₁₄=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）
=$\frac{1×（1-{3}^{1007}）}{1-3}$+$\frac{3×（1-{3}^{1007}）}{1-3}$
=$\frac{{3}^{1007}-1}{2}$+$\frac{{3}^{1008}-3}{2}$
=2•3¹⁰⁰⁷-2．
故答案为：2•3¹⁰⁰⁷-2．

点评 本题考查数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，考查了数列的分组求和，考查等比数列的前n项和，是中档题．