Question

10．在数列{a_n}中，已知a₁=1，S_n=n²a_n，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n，整理出a_n的递推式，进而用叠乘法求得a_n．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴S_n+1=（n+1）²a_n+1，
两式相减得：a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n，
∴n²a_n=n（n+2）a_n+1，即na_n=（n+2）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=1，∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$•1=$\frac{2}{n（n+1）}$，
即数列{a_n}的通项为：$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题，注意解题方法的积累，属于中档题．