Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求a_n及S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明即可；
（2）根据等差数列的通项公式进行求解即可求a_n及S_n．

解答 证明：（1）当n≥2时，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$=S_n-S_n-1．
即2S_n²=（2S_n-1）（S_n-S_n-1）=2S_n²-2S_nS_n-1-S_n+S_n-1，
即2S_nS_n-1=S_n-S_n-1，
则$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$$-\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=2，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；公差d=-2，首项$\frac{1}{{S}_{1}}=1$．
（2）由（1）得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-2（n-1）=3-2n，
即S_n=$\frac{1}{3-2n}$，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3-2n}$-$\frac{1}{5-2n}$=$\frac{2}{（3-2n）（5-2n）}$，
当n=1时，a₁=1不满足a_n，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{2}{（3-2n）（5-2n）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，根据数列的递推关系，转化为等差数列形式是解决本题的关键．