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    8．中心在坐标原点，其中一个焦点为（$\sqrt{3}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$椭圆的左、右焦点为F1，F2．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）若P是该椭圆上的一个动点，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值；
    （Ⅲ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

    分析 （Ⅰ）根据椭圆的定义求得椭圆方程．
    （Ⅱ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF1•PF2的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．
    （Ⅲ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．

    解答 解：（Ⅰ）∵其中一个焦点为（$\sqrt{3}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
    ∴a=2，b=1
    ∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
    （Ⅱ）由题意易知，焦点为（$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，0），设P（x，y），
    则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-\sqrt{3}-x，-y）•（\sqrt{3}-x，-y）$=${x}^{2}+{y}^{2}-3={x}^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{4}-3=\frac{1}{4}（3{x}^{2}-8）$
    因为x∈[-2，2]，
    故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
    $\overrightarrow{P{F}_{1}}$有最小值-2
    当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
    $\overrightarrow{P{F}_{1}}$有最大值1
    （Ⅲ）显然直线x=0不满足题设条件，
    可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：$（{k}^{2}+\frac{1}{4}）{x}^{2}+4kx+3=0$
    ∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
    由△=$（4k）^{2}-4（{k}^{2}+\frac{1}{4}）×3=4{k}^{2}-3＞0$得：$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$①
    又0°＜∠AOB＜90°?；cos∠AOB＞0cos∠AOB＞0?$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$
    ∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}＞0$
    又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）
    =k2x1x2+2k（x1+x2）+4
    =$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-8{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+4=\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
    ∵$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}＞0$
    即k2＜4，∴-2＜k＜2②
    故由①、②得：
    $-2＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}＜k＜2$

    点评 本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．

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