Question

3．动点P到定点D（1，0）的距离与到直线l：x=-1的距离相等，动点P形成曲线记作C．
（1）求动点P的轨迹方程
（2）过点Q（4，1）作曲线C的弦AB，恰被Q平分，求AB所在直线方程．

Answer 1

分析 （1）先设P（x，y），由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，写出其标准方程即可；
（2）设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将两点坐标代入抛物线方程，两个等式相减得到中点的坐标与斜率的关系，求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．

解答 解：（1）设P（x，y），
由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，
其方程为：y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
∵过点Q（4，1）作曲线C的弦AB，恰被Q平分，
∴8（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴K_AB=$\frac{1}{2}$
直线AB方程：y-1=$\frac{1}{2}$（x-4），即x-2y-2=0．

点评 本题主要考查了抛物线的定义，考查直线方程，解决直线与圆锥曲线相交得到的弦中点或中点弦问题，常规方法是：将直线与圆锥曲线的方程联立利用韦达定理解决；也可以用点差法来解决．