Question

1．设数列{a_n}满足（6n-3）a_n=（2n+1）a_n-1+4n²-2n+1（n≥2），a₁=2，设b_n=$\frac{{a}_{n}-n}{2n+1}$．
（1）求证：{b_n}是等比数列；
（2）设{a_n}的前n项和S_n，求$\frac{{S}_{n}+20}{n}$+$\frac{{n}+2}{n}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得a_n，通过化简整理可得，$\frac{{a}_{n}-n}{2n+1}$=$\frac{{a}_{n-1}-（n-1）}{3（2n-1）}$，结合条件和等比数列的定义，即可得证；
（2）求得b_n，a_n，运用分组求和和错位相减法求得{a_n}的前n项和S_n，化简整理，再由基本不等式，注意检验n为正整数，即可得到最小值．

解答 （1）证明：（6n-3）a_n=（2n+1）a_n-1+4n²-2n+1（n≥2），
可得a_n=$\frac{（2n+1）{a}_{n-1}+4{n}^{2}-2n+1}{6n-3}$，
a_n-n=$\frac{（2n+1）{a}_{n-1}-（2n+1）（n-1）}{3（2n-1）}$，
即有$\frac{{a}_{n}-n}{2n+1}$=$\frac{{a}_{n-1}-（n-1）}{3（2n-1）}$，
则b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，
故{b_n}是首项为$\frac{{a}_{1}-1}{3}$=$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列；
（2）解：b_n=$\frac{{a}_{n}-n}{2n+1}$=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
则a_n=n+（2n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+T_n，
T_n=3$•\frac{1}{3}$+5•$\frac{1}{9}$+…+（2n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=3•$\frac{1}{9}$+5•$\frac{1}{27}$+…+（2n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{2}{3}$T_n=1+2（$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=1+2•$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$，
即有S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$，
则$\frac{{S}_{n}+20}{n}$+$\frac{{n}+2}{n}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ=$\frac{n+1}{2}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{20}{n}$
=$\frac{n}{2}$+$\frac{22}{n}$+$\frac{1}{2}$，
由$\frac{n}{2}$+$\frac{22}{n}$≥2$\sqrt{\frac{n}{2}•\frac{22}{n}}$=2$\sqrt{11}$，
当且仅当$\frac{n}{2}$=$\frac{22}{n}$，即n=2$\sqrt{11}$，取得等号，
由于n为正整数，当n=6时，$\frac{n}{2}$+$\frac{22}{n}$=$\frac{20}{3}$，
当n=7时，$\frac{n}{2}$+$\frac{22}{n}$=$\frac{93}{14}$＜$\frac{20}{3}$，
则有n=7时，取得最小值，且为$\frac{50}{7}$．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式及求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查运算能力，属于中档题．