Question

6．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）BC⊥AC，CD⊥BC．推出DE⊥平面ACD，证明DE∥BC，即可证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，$AC=BC=2\sqrt{2}$，建立空间直角坐标系，求出平面AED与平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC
AC∩DC=C，AC，DC?面ACD，∴BC⊥平面ACD
又∵DC∥EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC
∴DE⊥平面ACD             …（5分）
（Ⅱ）解：∵AC²+BC²=AB²=16${V_{C-ADE}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•DE=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•AC•BC=\frac{1}{6}AC•BC≤\frac{1}{6}•\frac{{A{C^2}+B{C^2}}}{2}=\frac{4}{3}$当且仅当$AC=BC=2\sqrt{2}$时取等号，
∴当三棱锥C-ADE体积最大时，$AC=BC=2\sqrt{2}$
如图，以C为原点建立空间直角坐标系，

则$A（{2\sqrt{2}，0，0}），D（{0，0，1}），B（{0，2\sqrt{2}，0}），E（{0.2\sqrt{2}，1}）$$\overrightarrow{AD}=（{-2\sqrt{2}，0，1}），\overrightarrow{DE}=（{0，2\sqrt{2}，0}）$，设平面ADE的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{x，y，z}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AD}=-2\sqrt{2}x+z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，2\sqrt{2}}）$
设平面ABE的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（{x，y，z}）$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BE}=z=0\end{array}\right.$，
令x=1得$\overrightarrow{n_2}=（{1，1，0}）$，$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{3•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
∴当三棱锥C-ADE体积最大时，平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$…（13分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．