Question

19．已知f（x）=2x²-tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．
（1）求实数t的取值范围
（2）若x₁、x₂∈[α，β]且x₁≠x₂，求证：4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（3）设$g（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}$，对于任意x₁、x₂∈[α，β]上恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤λ（β-α）成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象的顶点，结合条件可得$\frac{t^2}{8}＜2$，解不等式即可得到k的范围；
（2）运用韦达定理和不等式的性质，结合分解因式，即可得证；
（3）运用g（x）的单调性和分离参数，即可得到右边函数的最大值，进而得到所求范围．

解答 解：（1）根据f（x）=2x²-tx图象翻折后顶点值$\frac{t^2}{8}＜2$，
得-4＜t＜4，
即有t的取值范围是（-4，4）；
（2）证明：由韦达定理知$α+β=\frac{t}{2}，αβ=-1$，
不妨设α＜x₁＜x₂＜β，
由于x₁、x₂∈[α，β]，故（x₁-α）（x₂-β）≤0，x₁x₂-（αx₂+βx₁）+αβ≤0
即4x₁x₂-4（αx₂+βx₁）-4≤0，4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4≤4（αx₂+βx₁）-t（x₁+x₂）
=4（αx₂+βx₁）-2（α+β）（x₁+x₂）=2（αx₂+βx₁）-2（αx₁+βx₂）=2（x₂-x₁）（α-β）＜0，
（3）解：任取x₁、x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，
则$g（{x_1}）-g（{x_2}）=-\frac{{4{x_1}{x_2}-t（{x_1}+{x_2}）-4}}{{（{x_1}^2+1）（x_2^2+1）}}（{x_2}-{x_1}）＞0$，
所以g（x）在[α，β]上是增函数，
故|g（x₁）-g（x₂）|≤λ（β-α）
等价于$λ≥\frac{g（β）-g（α）}{β-α}$$\frac{g（β）-g（α）}{β-α}$=$-\frac{{4αβ-t（{α+β}）-4}}{{（{{α^2}+1}）（{{β^2}+1}）}}$=2，
故λ≥2．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，同时考查韦达定理和不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．