Question

14．已知α，β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），满足tan（α+β）-2tanβ=0，则tanα的最小值是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• B． -$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• C． -$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 利用两角和的正切将tan（α+β）=4tanβ转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案

解答 解：∵tan（α+β）-2tanβ=0，
∴tan（α+β）=2tanβ，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanβ，
∴2tanαtan²β-tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴方程①有两负根，tanα＜0，
∴△=1-8tan²α≥0，
∴tan²α≤$\frac{1}{8}$，
∴tanα≥-$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴tanα的最小值是-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程中韦达定理的应用，考查转化思想与方程思想，属于中档题