Question

9．如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；
③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（-1，0）上单调递减，则y=f（x）在（-2，-1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对$?{x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立，则?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立．其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析 ①运用诱导公式证明sin（x+π）=-sin（x）=sin（-x）；
②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（-x）=-f（x），f（x+4）=f（x）；
③根据解析式得出f（x+4）=f（-x），f（x）关于x=2对称，即f（2-x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（-1，0）成中心对称，
且在（-2，-1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；
④利用定义式对称f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3；

解答 解：①∵sin（x+π）=-sin（x）=sin（-x），
∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；
∴①正确
②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
周期为4，
∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=-f（1）=-1，
∴②不正确，
③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，
∴f（x+4）=f（-x），
∴f（x）关于x=2对称，
即f（2-x）=f（2+x），
∵图象关于点（1，0）成中心对称，
∴f（2-x）=-f（x），
即f（2+x）=-f（-x），
∴得出：f（x）=f（-x），
f（x）为偶函数，
∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（-1，0）上单调递减，
∴图象也关于点（-1，0）成中心对称，且在（-2，-1）上单调递减，
根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；
故③正确．
④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，且周期为3，
所以对$?{x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$，为一个周期，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立，
则则?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立，故④正确．
故答案为：①③④

点评 本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证．