Question

18．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1（n∈N^*）．若不等式$\frac{{λ{{（{-1}）}^n}}}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{{n+8•{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$对任意的n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是$[{-\frac{77}{3}，-15}]$．

Answer 1

分析 由等差数列的性质结合已知递推式可得数列通项公式，把a_n+1代入不等式$\frac{{λ{{（{-1}）}^n}}}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{{n+8•{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$，分n为偶数和奇数分离λ，然后由数列的单调性求得最值得λ的范围，最后取交集得答案．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，且a_n²=S_2n-1，
∴${S_{2n-1}}=（2n-1）{a_n}=a_n^2$，则a_n=2n-1，
当n为偶数时，由不等式$\frac{{λ{{（{-1}）}^n}}}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{{n+8•{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$得：
$\frac{λ}{2n+1}≤\frac{n-8}{n}$，即$λ≤\frac{（n-8）（2n+1）}{n}$，
函数$y=\frac{（n-8）（2n+1）}{n}=2n-\frac{8}{n}-15$是增函数，当n=2时取得最小值-15，∴λ≤-15；
当n为奇数时，由不等式$\frac{{λ{{（{-1}）}^n}}}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{{n+8•{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$得：
$-λ≤\frac{（n+8）（2n+1）}{n}=2n+\frac{8}{n}+17$，函数$y=2n+\frac{8}{n}+17$，
当n=3时取得最小值为$\frac{77}{3}$，即$-λ≤\frac{77}{3}$，∴$λ≥-\frac{77}{3}$．
综上，λ的取值范围是$[{-\frac{77}{3}，-15}]$．
故答案为：$[{-\frac{77}{3}，-15}]$．

点评 本题考查数列的递推式，考查等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．