Question

6£®ÉèÊýÁÐ{a_n}£¬{b_n}£¬ÒÑÖªa₁=3£¬b₁=5£¬${a_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}$£¬${b_{n+1}}=\frac{{4+{a_n}}}{2}$£¬£¨n¡ÊN^*£©£®
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Answer 1

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£¨3£©Í¨¹ýa_n+b_n=8Óë${b_n}-{a_n}=2•{£¨-\frac{1}{2}£©^{n-1}}$Á½Ê½Ïà¼Ó¿ÉµÃS_n=4n+$\frac{2}{3}$[1-£¨-$\frac{1}{2}$£©ⁿ]£¬Í¨¹ýp•£¨S_n-4n£©¡Ê[1£¬3]£¬»¯¼ò¿ÉµÃ$\frac{1}{1-£¨-\frac{1}{2}£©^{n}}$¡Ü$\frac{2p}{3}$¡Ü$\frac{3}{1-£¨-\frac{1}{2}£©^{n}}$£¬¶Ôn·ÖÆæżÊýÌÖÂÛ£¬¿ÉµÃ$\frac{1}{1-£¨-\frac{1}{2}£©^{n}}$µÄ×î´óֵΪ$\frac{4}{3}$£¬$\frac{3}{1-£¨-\frac{1}{2}£©^{n}}$µÄ×îСֵΪ2£¬½ø¶ø¿ÉµÃ½áÂÛ£®

½â´ð ½â£º£¨1£©${b_{n+1}}-{a_n}_{+1}=\frac{{4+{a_n}}}{2}-\frac{{4+{b_n}}}{2}=\frac{{{a_n}-{b_n}}}{2}=-\frac{1}{2}£¨{b_n}-{a_n}£©$£¬
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£¨3£©ÓÉ£¨1£©£¨2£©µÃ£ºa_n+b_n=8£¬${b_n}-{a_n}=2•{£¨-\frac{1}{2}£©^{n-1}}$£¬
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µ±nΪżÊýʱ£¬$\frac{1}{1-£¨-\frac{1}{2}£©^{n}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$ËænµÄÔö´ó¶øµÝÔö£¬ÇÒ$\frac{1}{1-£¨-\frac{1}{2}£©^{n}}$£¾1£»
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