Question

16．正四面体ABCD的表面积为S，其中四个面的中心分别是E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则$\frac{T}{S}$等于$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 因为正四面体四个面都是正△，其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半，通过作出辅助线，可得两四面体的边长比，由面积比是边长比的平方，可得出答案

解答 解：解：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，
∴四面体EFGH也是正四面体．
连接AE并延长与CD交于点M，
连接AG并延长与BC交于点N．
∵E、G分别为面的中心，
∴$\frac{AE}{AM}$=$\frac{AG}{AN}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{GE}{MN}$=$\frac{2}{3}$．
又∵MN=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{GE}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
∵面积比是相似比的平方，
∴两四面体的面积比为$\frac{T}{S}$=$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$

点评 本题考查了多面体的面积比是边长比的平方，本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方，三角形的高，中线，角平分线的比等于边长的比