Question

18．如图所示，AB是半径为1的圆的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CF⊥AB，垂足为点F．已知∠CAB=30°，∠DCB=60°．
（1）求∠EAB的大小；
（2）求AC•AD+BC•BE的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形的角的关系求解即可．
（2）通过求解直角三角形，求出相关数据求解即可．

解答 解：AB是半径为1的圆的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CF⊥AB，垂足为点F．已知∠CAB=30°，∠DCB=60°．
（1）∠CAB=30°，CF⊥AB，可得∠ACF=60°，∠DCB=60°，
∴∠ABE=30°，∠EAB=60°；
（2）AB是半径为1的圆的直径，∠CAB=30°，可得BD=1，∠DCB=60°，∴BC=$\frac{BD}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理：AC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，EC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
AC•AD+BC•BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查圆内三角形的边角计算，三角形的解法，考查计算能力．