Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁与A₁B的交点，N是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
 （Ⅱ）求三棱锥N-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接MN，AC₁，然后由三角形的中位线定理得到MN∥AC₁，再由线面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）把三棱锥N-A₁BC的体积转化为A₁-BNC的体积求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图，

连接MN，AC₁，∵M、N分别为AB₁、B₁C₁ 的中点，
∴MN∥AC₁，
∵MN?面AA₁C₁C，AC₁?面AA₁C₁C，
∴MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴四边形BB₁C₁C为矩形，
N为B₁C₁的中点，则${S}_{△BNC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
又AC⊥BC，AC⊥CC₁，∴AC⊥面BB₁C₁C，
则${V}_{N-{A}_{1}BC}={V}_{{A}_{1}-BNC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BNC}•{A}_{1}{C}_{1}=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．