Question

2．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，点M在椭圆C上，点M到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知椭圆C₂是椭圆C的3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C₂于M，N两点，O为坐标原点，试研究当切线l变化时△OMN面积的变化情况，并给予证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）依题意，求得椭圆C₂方程，当切线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，代入椭圆C₂方程，运用韦达定理和弦长公式，和点到直线的距离公式，结合面积公式，计算即可得到定值，讨论直线的斜率不存在，同样得到定值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，2a=4，a=2，
∵$e=\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）依题意，椭圆C₂方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=3，即\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，
当切线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
由△=0得m²=4k²+3，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-36}}{{3+4{k^2}}}$，
即有$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{3（12{k^2}+9-{m^2}）}}}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{6}}}{|m|}$，
又点O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•|{MN}|•d=2\sqrt{6}$，
当切线l的斜率不存在时，l的方程为$x=±2，|{MN}|=2\sqrt{6}$，${S_{△OMN}}=2\sqrt{6}$，
综上，当切线l变化时，△OMN的面积为定值$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的定义和方程及性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算求解能力，属于中档题．