Question

13．若曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^-x有公共切线，则a的取值范围是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围

解答 解：设公切线与曲线C₁切于点（x₁，ax₁²），与曲线C₂切于点（x₂，${e}^{-{x}_{2}}$），
则曲线C₁的导数为y′=2ax，C₂的导数为y′=-e^-x．
则2ax₁=-${e}^{-{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{-{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
将${e}^{-{x}_{2}}$=-2ax₁代入2ax₁=$\frac{{e}^{-{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，可得2x₂=x₁-2，
∴a=-$\frac{{e}^{-\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
记f（x）=-$\frac{{e}^{-\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{-\frac{x}{2}+1}（x+2）}{4{x}^{2}}$，当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0．
当x∈（-2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x=-2时，f（x）_min=f（-2）=-$\frac{{e}^{2}}{-4}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范围是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用，综合性较强，难度较大．