Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（1）设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），将k₁、k₂用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；
（2）利用S_△OMN=$\frac{1}{2}$•3|x₁|•$\frac{3}{4}$|y₁|=$\frac{9}{8}$|x₁|•|y₁|，及基本不等式计算即得结论．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∵k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，
消去y整理得：（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
由题可知：x₁≠-x₂，∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$，
所以直线BD的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁），
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0），
∴k₂=-$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，∴k₁=-$\frac{1}{2}$k₂，
即存在常数λ=-$\frac{1}{2}$使得k₁=λk₂结论成立．
（ii）直线BD的方程y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁），
令x=0可得：y=-$\frac{3}{4}$y₁，即N（0，-$\frac{3}{4}$y₁），
由（i）知M（3x₁，0），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$•3|x₁|•$\frac{3}{4}$|y₁|=$\frac{9}{8}$|x₁|•|y₁|，
∵|x₁|•|y₁|≤$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+${{y}_{1}}^{2}$=1，
当且仅当$\frac{|{x}_{1}|}{2}$=|y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，此时S_△OMN取得最大值$\frac{9}{8}$，
∴△OMN面积的最大值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．