Question

1．已知F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y₀）在椭圆上，且PF₂⊥x轴，△PF₁F₂的周长为6；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）E、F是曲线C上异于点P的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）利用点P（1，y₀）在椭圆上，且PF₂⊥x轴，△PF₁F₂的周长为6，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；
（2）设直线PE方程代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，求出E，F的坐标，由此能证明直线EF的斜率为定值．

解答 解：（1）由题意，F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1，…（1分）
C_△=|PF₁|+|PF₂|+2c=2a+2c=8…（2分）
∴$a=2，b=\sqrt{3}$…（3分）
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（2）由（1）知$P（1，\frac{3}{2}）$，设直线PE方程：得y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0…（6分）
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F）．
∵点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
∴x_E=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_E=kx_E+$\frac{3}{2}$-k，…（12分）
又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_F=-kx_F+$\frac{3}{2}$+k，…（13分）
∴直线EF的斜率k_EF=$\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{1}{2}$．
即直线EF的斜率为定值，其值为$\frac{1}{2}$…（15分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．