Question

19．求y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值．

Answer 1

分析 函数中 $\sqrt{{x}^{2}+4}$和 $\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的积虽然是定值，但两部分不能相等，所以不能由基本不等式求．通过换元利用导数求最值．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+4}$=t（t≥2），
则y=t+$\frac{1}{t}$（t≥2）
∴y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$≥0
所以函数是增函数
∴当t=2即x=0时函数有最小值$\frac{5}{2}$
函数的最小值为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的导数的应用，是易错题，容易利用基本不等式求解最值．