Question

12．设椭圆中心在坐标原点，A（4，0），B（0，2）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），且x₁，x₂满足方程，进而求得x₂的表达式，进而根据$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求得x₀的表达式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，进而求得x₀的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y₁=kx₁，y₂=kx₂，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．

解答 解：（Ⅰ）依题设得椭圆得a=4，b=2方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
直线AB，EF的方程分别为x+2y=4，y=kx（k＞0）
设D（x₀，kx₀），E（x₂，kx₂）其中x₁＜x₂
且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=16．故x₂=-x₁=$\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}①$
由$\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x₀=$\frac{1}{7}（6{x}_{2}+{x}_{1}）=\frac{5}{7}{x}_{2}=\frac{20}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$
由D在AB上知x₀+2kx₀=4，得x₀=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$
所以$\frac{4}{1+2k}=\frac{20}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，化简得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$
（Ⅱ）根据点到直线得距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
${k}_{1}=\frac{|{x}_{1}+2k{x}_{1}-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4（1+2k+\sqrt{1+4{k}^{2}}）}{\sqrt{5}（1+4{k}^{2}）}$，${k}_{2}=\frac{|{x}_{2}+2k{x}_{2}-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4（1+2k-\sqrt{1+4{k}^{2}}）}{\sqrt{5}\sqrt{1+4{k}^{2}}}$
又|AB|=2$\sqrt{5}$，所以四边形AEBF的面积为S=$\frac{1}{2}|AB|（{k}_{1}+{k}_{2}）=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}\frac{8（1+2k）}{\sqrt{5（1+4{k}^{2}）}}$=$8\sqrt{\frac{1+4{k}^{2}-4k}{1+4{k}^{2}}}$
=4$\sqrt{1+\frac{4k}{1+4{k}^{2}}}≤8\sqrt{2}$
当2k=1，即当k=$\frac{1}{2}$时，上式取等号，所以S的最大值为8$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．