Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}+m\sqrt{x}$（m∈R），若f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）令g（x）=kxe^x，对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，1），总有f（x₁）≥g（x₂），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直，可得f′（4）=-$\frac{1}{16}$+$\frac{m}{4}$=$\frac{7}{16}$，即可求m的值；
（Ⅱ）对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，1），总有f（x₁）≥g（x₂），可得f（x）_min≥g（x）_max，分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{m}{2\sqrt{x}}$
∵f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直，
∴f′（4）=-$\frac{1}{16}$+$\frac{m}{4}$=$\frac{7}{16}$，
∴m=2；
（Ⅱ）∵对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，1），总有f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x）_min≥g（x）_max，
∵f′（x）=$\frac{（\sqrt{x}-1）（x+\sqrt{x}+1）}{{x}^{2}}$，
∴x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=3，
g′（x）=k（e^x+xe^x），
k＞0，x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，3≥g（x）_max=ke，∴k≤$\frac{3}{e}$；
k＜0，x∈（0，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，3≥g（x）_max=0，∴k＜0；
k=0，3＞g（x）_max=0，
∴k≤$\frac{3}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．