Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F₂是C的右焦点，直线l：y=kx+m与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，求证：当直线F₂A与直线F₂B的倾斜角互补时，直线l必过一定点．

Answer 1

分析 设直线AB方程为y=kx+m，由直线和椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1联立，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线MN过定点（2，0）．

解答 证明：由题意，知直线AB斜率存在，其方程为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
且${K}_{{F}_{2}A}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{2}B}=\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$，
由已知直线F₂A与F₂B的倾斜角互补得，
${k}_{{F}_{2}M}+{k}_{{F}_{2}N}=0$即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}+\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}=0$，
化简得，2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-$\frac{4km（m-k）}{2{k}^{2}+1}$-2m=0，
整理得，m=-2k，
∴直线MN的方程为y=k（x-2），
故直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．

点评 本题考查曲线是椭圆的证明，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，熟练掌握椭圆的简单性质及其应用．