Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积．

Answer 1

分析 （I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；
（II）先求得三棱锥B₁-ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．

解答 （Ⅰ）证明：由侧面ABB₁A₁为正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面ABB₁A₁，所以平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．…（4分）
（Ⅱ）解：设O是BB₁的中点，连结CO，则CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面ABB₁A₁，且CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
连结AB₁，
则${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△AB{B}_{1}}$•CO=$\frac{1}{6}$AB²•CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（8分）
因${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=2$\sqrt{3}$．…（12分）．

点评 本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键．