Question

20．已知动圆C过定点（1，0）且与直线x=-1相切
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）设过定点M （-4，0）的直线?与圆心C的轨迹有两个交点A，B，坐标原点为O，设∠xOA=α，∠xOB=β，试探究α+β是否为定值，若是定值，求定值，若不是定值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设圆的圆心为（x，y），运用两点的距离和直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，即可得到轨迹方程；
（2）设过定点M（-4，0）的直线l的方程为x=my-4，代入抛物线方程可得，y²-4my+16=0，设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到定值．

解答 解：（1）设圆的圆心为（x，y），
由动圆C过定点（1，0）且与直线x=-1相切，
可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x+1|，
化简可得y²=4x；
（2）设过定点M（-4，0）的直线l的方程为x=my-4，
代入抛物线方程可得，y²-4my+16=0，
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=16，
由题意当m＞0，可得OA的斜率为k₁=tanα=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
OA的斜率为k₂=tanβ=$\frac{4}{{y}_{2}}$，
即有tanαtanβ=1，
则α+β=90°；
当m＜0时，同样有tanαtanβ=1，
则α+β=90°．
故α+β为定值，且为90°．

点评 本题考查轨迹方程的求法，同时考查直线和圆相切的条件，以及抛物线的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算求解能力，属于中档题．